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选择题
已知函数 $f(x)=(x+5)^{\frac{1}{2}}$，则 $f(x)$ 的定义域是（ ）
A. $(-5,+\infty)$
B. $[-5,+\infty)$
C. $(-\infty,-5)$
D. $(-\infty,-5]$
答案: B
根据幂函数的定义，当指数为分数且分母为奇数时，为了保证在实数范围内有意义并且通常作为代数根考虑时，$x+5 \ge 0$ 是常见约束。所以 $x \ge -5$。
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选择题
当 $x\rightarrow0$ 时，$e^{\tan x}-e^{x}$ 是 $x$ 的（ ）
A. 高阶无穷小
B. 低阶无穷小
C. 等价无穷小
D. 同阶无穷小,但非等价无穷小
答案: A
$e^{\tan x}-e^{x} = e^x(e^{\tan x - x} - 1)$。当 $x\rightarrow0$ 时，$e^{\tan x - x} - 1 \sim \tan x - x$。
由于 $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$，故它是 $x$ 的高阶无穷小。
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选择题
极限 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}}{x\ln(x+1)}=$（ ）
A. 1
B. -1
C. 0
D. $\infty$
答案: A
当 $x\to 0$ 时，$\ln(x+1) \sim x$。
原式 $= \lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x \cdot x} = 1$。
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选择题
$x=0$ 是函数 $f(x)=\begin{cases}x^{2},&x < 0,\\ x+2,&x>0\end{cases}$ 的（ ）
A. 跳跃间断点
B. 可去间断点
C. 第二类间断点
D. 连续点
答案: A
左极限 $\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} x^2 = 0$。
右极限 $\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} (x+2) = 2$。
左右极限均存在但不相等，故 $x=0$ 为跳跃间断点（第一类间断点）。
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选择题
设 $f(x)=(2x+1)^{4},$ 则 $f^{\prime}(0)=$（ ）
A. 1
B. 4
C. 8
D. 16
答案: C
$f'(x) = 4(2x+1)^3 \cdot (2x+1)' = 8(2x+1)^3$。
将 $x=0$ 代入得 $f'(0) = 8(1)^3 = 8$。
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选择题
已知函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=t^{2},\\ y=t^{8}+4\end{cases}$ 所确定, 求 $\frac{dy}{dx}=$（ ）
A. $4t^{6}$
B. $\frac{1}{4t^{6}}$
C. $\frac{t^{8}+4}{t^{2}}$
D. $2t^{2}$
答案: A
由参数方程求导公式：$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。
$\frac{dy}{dt} = 8t^7$，$\frac{dx}{dt} = 2t$。
所以 $\frac{dy}{dx} = \frac{8t^7}{2t} = 4t^6$。
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选择题
若函数 $y=2x^{3}-3x^{2}+1$, 则（ ）
A. y 的极大值是1
B. y 的极大值是0
C. y的最大值是1
D. y没有极值
答案: A
求导：$y' = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$。令 $y'=0$，得驻点 $x=0$ 和 $x=1$。
二阶导数：$y'' = 12x - 6$。
$y''(0) = -6 < 0$，故在 $x=0$ 处取得极大值，极大值为 $y(0) = 1$。
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选择题
若函数 $f^{\prime}(x)$ 连续, 则下列等式正确的是（ ）
A. $\int f^{\prime}(x)dx=f(x)dx$
B. $\int df(x)=f(x)$
C. $\frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x)$
D. $d\int f(x)dx=f(x)dx$
答案: C
选项 A、B 漏了常数项 $C$ 或者格式有误；选项 C 是原函数存在定理与微积分基本定理的正确表述；选项 D 中 $d\int f(x)dx = f(x)dx$ 也是正确的微分形式，但在通常单选考察中优先考察导数与积分互逆的基础形式即选项C。
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选择题
微分方程 $y^{\prime}+y-x=0$ 的通解是 $y=$（ ）
A. $x+Ce^{-x}$
B. $x+Ce^{x}$
C. $x+Ce^{-x}-1$
D. $x+Ce^{x}-1$
答案: C
将方程写为一阶线性标准形式：$y' + y = x$。积分因子为 $e^{\int 1 dx} = e^x$。
方程两边乘 $e^x$ 得：$(ye^x)' = xe^x$。两边积分得：$ye^x = \int xe^x dx = xe^x - e^x + C$。
解得：$y = x - 1 + Ce^{-x}$。
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选择题
下列级数绝对收敛的是（ ）
A. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n^{4}}{n+1}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{\sqrt{n}-1}-\frac{1}{\sqrt{n}+1})$
D. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{\ln n}$
答案: A
绝对收敛即要求取绝对值后级数收敛。对于选项 A，取绝对值后为 $\sum \frac{1}{n^2}$，由于 $p=2 > 1$，所以是收敛的 p 级数。
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填空题
设 $f(x)=\begin{cases}1,&x < 0,\\ 3x^{2}-2x+1,&x\ge0,\end{cases}$ 则 $f[f(0)]=$
答案: 2
首先计算 $f(0)$：因为 $0 \ge 0$，所以 $f(0) = 3(0)^2 - 2(0) + 1 = 1$。
然后计算 $f[f(0)] = f(1)$：因为 $1 \ge 0$，所以 $f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2$。
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填空题
极限 $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}-3x+2}=$
答案: 4
分子因式分解为 $(x-2)(x+2)$，分母因式分解为 $(x-2)(x-1)$。
极限值为 $\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)} = \lim_{x\to 2} \frac{x+2}{x-1} = \frac{4}{1} = 4$。
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填空题
设 $f(x)=\begin{cases}3x+a,&x\le0,\\ 2x^{2}+1,&0 < x\le1,\\ \frac{b}{x},&x>1\end{cases}$ 处处连续，则 $ab=$
答案: 3
在 $x=0$ 处连续：左极限 $\lim_{x\to 0^-} (3x+a) = a$，右极限 $\lim_{x\to 0^+} (2x^2+1) = 1$，故 $a=1$。
在 $x=1$ 处连续：左极限 $\lim_{x\to 1^-} (2x^2+1) = 3$，右极限 $\lim_{x\to 1^+} \frac{b}{x} = b$，故 $b=3$。
所以 $ab = 1 \times 3 = 3$。
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填空题
设曲线 $y=ke^{x}$ 在 $x=0$ 处的切线斜率为2，则常数 $k=$
答案: 2
求导：$y' = ke^x$。
根据题意，在 $x=0$ 处的导数值等于切线斜率：$y'(0) = ke^0 = k = 2$。
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填空题
设 $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+7$，则 $f(x)$ 的凹区间是
答案: $(2, +\infty)$
一阶导数 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$。
二阶导数 $f''(x) = 6x - 12$。
令 $f''(x) > 0$，即 $6x - 12 > 0$，解得 $x > 2$。所以凹区间为 $(2, +\infty)$。
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填空题
记 $\Phi(x)=\int_{0}^{x}(x-t)\cos t~dt,$ 则 $\Phi^{\prime}(x)=$
答案: $\sin x$
原式可拆分为 $\Phi(x) = x\int_0^x \cos t dt - \int_0^x t\cos t dt$。
一阶导数 $\Phi'(x) = \int_0^x \cos t dt + x\cos x - x\cos x = \int_0^x \cos t dt$。
二阶导数 $\Phi''(x) = \cos x$。
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填空题
若 $\int f(x)dx=e^{x}+C$，则不定积分 $\int f(x)e^{x}dx=$
答案: $\frac{1}{2}e^{2x} + C$
对 $\int f(x)dx=e^{x}+C$ 两边求导，得 $f(x) = e^x$。
所以 $\int f(x)e^{x}dx = \int e^x e^x dx = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$。
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填空题
由 $y=x^{2}$ 与 $x=2$ 及 $x$ 轴围成的平面图形的面积是
答案: $\frac{8}{3}$
积分区域为 $x \in [0, 2]$，上方边界为 $y=x^2$，下方边界为 $y=0$。
面积 $S = \int_0^2 x^2 dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{8}{3}$。
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填空题
向量 $\vec{a}=\{1,2,1\}$ 与向量 $\vec{b}=\{2,2,1\}$ 的夹角余弦是
答案: $\frac{7}{3\sqrt{6}}$
点积 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\times2 + 2\times2 + 1\times1 = 7$。
模长 $|\vec{a}| = \sqrt{1^2+2^2+1^2} = \sqrt{6}$， $|\vec{b}| = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = \sqrt{9} = 3$。
夹角余弦 $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{7}{3\sqrt{6}}$。
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填空题
已知函数 $z=z(x,y)$ 的全微分 $dz=axy^{2}dx-3x^{2}y~dy$，则 $a=$
答案: -3
由全微分的充要条件可知：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，其中 $P = axy^2$，$Q = -3x^2y$。
$\frac{\partial}{\partial y}(axy^2) = 2axy$，$\frac{\partial}{\partial x}(-3x^2y) = -6xy$。
令 $2axy = -6xy$，解得 $a = -3$。